Метод наложения

23/09/2013 - 15:56 Павел Бобков

Введение

   В этом посте мы поговорим о простом методе расчета электрических цепей, известном как метод наложения или суперпозиции. Его можно применять для анализа электрических схем с несколькими источниками напряжения. Новичку может показаться, что он не использует такие схемы, но это не совсем так. 
   При анализе электрических схем используются эквивалентные схемы. Это некий упрощенный вариант исходной схемы, в которой ее некоторые части заменены. Так вот в этих эквивалентных схемах обычно и появляются дополнительные источники напряжения. И чтобы тебе стало более понятно, рассмотрим схему компаратора на операционном усилителе.


   Допустим, нам нужно рассчитать напряжение на положительном входе операционного усилителя при максимальном напряжении на выходе. Чтобы это сделать, нужно перерисовать часть исходной схемы в ее эквивалент. 

   Входной ток операционного усилителя очень мал (для идеального операционного усилителя он вообще принимается равным нулю), поэтому можно считать, что он представляет собой высокоомное сопротивление, не влияющее на наши расчеты, и пренебречь им в эквивалентной схеме.
   На выходе усилителя у нас максимальные выходное напряжение, так называемое напряжение насыщения. Для операционного усилителя общего назначения оно обычно меньше напряжения питания на 1-2 В. Выход усилителя мы можем заменить источником напряжения. Выходным сопротивлением операционного усилителя (омы) мы опустим, допустив что оно на порядок меньше сопротивлений наших резисторов и не оказывает влияния на расчеты.
   В результате преобразования у нас получится такая эквивалентная схема.


Метод наложения

   А теперь к нашим баранам. Суть метода наложения заключается в следующем. Каждый источник напряжения вызывает в схеме протекание определенных токов. Когда источников напряжения несколько, грубо говоря, создаваемые ими токи "накладываются" друг на друга. Чтобы рассчитать результирующий ток методом наложения, нужно определить токи в электрической цепи отдельно для каждого источника, а затем просуммировать их, учитывая знак. 


Применять этот метод можно по такому алгоритму.

1. Обозначаем в исходной схеме произвольные направления токов. Это нужно сделать для каждой ветви.

2. Из одной схемы с N источниками напряжения делаем N схем с одним источником напряжения. При этом остальные источники в этих схемах заменяются внутренним сопротивлением источника или перемычкой (если мы пренебрегаем внутренним сопротивлением источника).

3. Рассчитываем частичные токи в каждой из схем с одним источником. В этих схемах направления токов будут четко определены полярностью источника напряжения.

4. Складываем частичные токи или напряжения в одинаковых ветвях цепи с учетом знака. Частичный ток, совпадающий по направлению с искомым, считаем положительным, а который не совпадает - отрицательным. Если результирующий ток будет иметь положительный знак, то его направление совпадает с тем, который мы выбрали на первом шаге. Если он будет иметь отрицательный знак, то его направление противоположно выбранному.

Пример использования метода наложения

Рассчитаем токи в расположенной ниже схеме, следуя описанному алгоритму.


1. Задаем произвольные направления токов во всех ветвях цепи.


2. Рисуем для каждого источника напряжения отдельную схему и указываем сразу направления протекания токов.
Ток течет от большего потенциала к меньшому, короче от плюса к минусу. 

     

3. Рассчитываем частичные токи в каждой из схем с одним источником. Номиналы резисторов и значения напряжений указаны в схемах. В этих расчетах используется только закон Ома, Кирхгофа и формула для вычисления сопротивления параллельно соединенных резисторов.  

Первая схема

I1 = I2 + I3
I1 = U1/(R1 + R2||R3)
R2||R3 = (R2 * R3)/(R2 + R3) = (10 * 20)/(10 + 20) = 6.7 кОм
I1 = 5/(10 + 6.7) = 0.3 мА
Ux = U1 - Ur1 = U1 - I1*R1 = 5 - 0.3*10 = 2 В
I1 = Ux/R2 = 2/10 = 0.2 мА
I3 = Ux/R3 = 2/20 = 0.1 мА

Вторая схема

I3 = I2 + I1
I3 = U2/(R3 + R1||R2)
R1||R2 = (R1 * R2)/(R1 + R2) = (10*10)/(10 + 10) = 5 кОм
I3 = 3/(20 + 5) = 0.12 мА
Ux = U2 - Ur3 = U2 - I3*R3 = 3 - 0.12*20 = 0.6 В
I1 = Ux/R1 = 0.6/10 = 0.06 мА
I2 = Ux/R2 = 0.6/10 = 0.06 мА

4. Складываем частичные токи, соблюдая знак.

Частичные токи для первой схемы

I1_1 = 0.3 мА
I2_1 = 0.2 мА
I3_1 = 0.1 мА

Частичные токи для второй схемы

I1_2 = 0.06 мА
I2_2 = 0.06 мА
I3_2 = 0.12 мА

Результирующие токи

Направление I1_1 совпадает с I1 - берем его со знаком плюс. Направление I1_2 не совпадает с I1 - берем его со знаком минус.

I1 = I1_1 - I1_2 = 0.3 - 0.06 = 0.24 мА

Аналогично рассчитываем токи I2 и I3.

I2 = I2_1 + I2_2 = 0.2 + 0.06 = 0.26 мА
I3 =- I3_1 + I3_2 = -0.1 + 0.12 = 0.02 мА

Все рассчитанные токи имеют положительный знак, значит выбранные на первом шаге направления токов оказались правильными.

Ну и напоследок проверим результат.

I2 = I1 + I3
0.26 = 0.24 + 0.02

Все совпадает.

Возвращаясь к компаратору

   Чтобы рассчитать напряжение Ux в разобранной схеме, не обязательно рассчитывать все токи, можно выполнить вычисления быстрее.

   
   Запишем напряжение Ux для двух схем. Это будет формула обычного делителя напряжения, где в качестве одного из членов будет параллельное сопротивление двух резисторов. 


Ux1 = U1* (R2||R3)/(R1 + R2||R3) = 5 * (6.7)/(10 + 6.7) = 2 В
Ux2 = U2 *(R2||R1)/(R3 + R2||R1) = 3 * (5)/(20 + 5) = 0.6 В

Тогда Ux будет равно сумме этих напряжений.

Ux = Ux1 + Ux2 = 2 + 0.6 = 2.6 В

На этом все. Жми на кнопку "Поделиться", если тебе понравилась эта статья. 

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить